Matematika - Logika Gauss dalam Barisan dan Deret

Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) merupakan salah satu ilmuwan yang terkenal karena di dalam bidang Matematika karena penemuannya, yaitu rumus barisan dan deret. Dalam tulisan ini, saya akan bahas penyelesaian kasus barisan dan deret hanya dengan logika. Kita gunakan logika yang digunakan Gauss sewaktu menemukan rumus barisan dan deret.

Dalam barisan deret 1 hingga 100. Terdapat 100 buah bilangan yang nilainya berurut. Karena berurut, kita dapat dengan mudah menyelesaikannya. Mari kita hitung 1+2+3+..100 dengan logika Gauss.

Diberikan N bilangan sebanyak 100 buah, yaitu 1,2,3,...,100.

N = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,48,49,50,51,52,...,91,92,93,94,95,96,97,98,100

Karena bilangan berurut, mari kita jumlahkan N dengan M. Dimana M merupakan N yang dibalik.

M = 100,99,98,97,96,95,94,93,92,91,...,52,51,50,49,48,...,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1

Setelah dijumlahkan, ternyata setiap bilangan jumlahnya sama.

N+M = 101,101,101,...,101

Berapa banyak suku yang dimiliki N+M? Tentu saja 100. Masing-masing suku bernilai sama yaitu 101. Karena berjumlah 100 buah, mari kita kalikan. Diberikan H sebagai hasil akhir.

H = 101 x 100
H = 10100

Berikutnya, bagi H dengan 2. Kenapa? Karena pada awal, kita menjumlahkan N+M, dimana N dan M merupakan bilangan yang sama namun pada M kita membalikannya. Jadi, secara logika, N+M:2 = H.

H = 10100:2
H = 5050

Jika kita menggunakan rumus barisan dan deret.

Sn = n/2(2a + (n-1)b)
S100 = 50(2 + 99)
S100 = 50(101)
S100 = 5050

Keterangan:
Sn = Banyaknya jumlah n bilangan dari barisan
n = Banyaknya bilangan (suku)
a = Angka dimulainya barisan
b = Perbedaan jarak antar angka dalam barisan

Lihat, hasilnya sama! Di dalam rumus itu terdapat N:2. Dari perhitungan manual di atas, kita juga membagi 2 hasil akhir. Bedanya, di dalam rumus ini yang dibagi merupakan jumlah suku atau jumlah banyaknya bilangan.

H = (n(2a + (n-1)b))/2
H = (100(2 + 99))/2
H = (100(101))/2
H = 10100/2
H = 5050

Jika kita ubah sedikit rumusnya, maka dengan sangat jelas seperti pengerjaan manual di atas.

Sudah ada rumus yang tersedia, tapi kenapa masih menghitung manual?

Penutup

Memang benar untuk apa menghitung manual jika sudah ada rumus. Tapi, memangnya mau menghafal rumus-rumus? Di matematika ada banyak sekali rumus. Jika dihafalkan tentu saja tidak efisien. Salah satu cara terbaik adalah memahami konsep serta logika dari rumus tersebut. Kenapa bisa terbentuk rumus seperti ini? Itulah yang kita pahami dari tulisan ini. Jika kita paham konsepnya, sudah jelas kita akan ingat bagaimana cara penyelesaiannya tanpa harus menghafal rumus karena secara tidak langsung kita mengerjakannya seperti menggunakan rumus. Bahkan, dalam beberapa kasus kita mengharuskan menggunakan konsep atau logikanya ketimbang menggunakan rumus yang ada.

Demikian tulisan yang membahas sedikit tentang logika Gauss dalam barisan dan deret. Tulisan ini bisa saja mengandung kesalahan. Karena itu mohon dikoreksi dan dimaklumi serta dimaafkan. Akan saya perbaiki ketika ada kesalahan. Saya hanyalah orang yang mencoba untuk menjadi penulis. Saya juga masih belajar. Terima kasih.