Matematika - Logika Jumlah Suku pada Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan salah satu materi yang paling saya sukai. Karena di dalamnya saya melakukan komputasi yang membutuhkan logika untuk mengidentifikasi masalahnya yang hasilnya terkadang "gila", hingga ratusan ribu atau bahkan jutaan. Kali ini, kita akan mencoba menggunakan logika untuk mencari jumlah suku pada deret aritmatika. Walaupun jarang ada masalah (soal) yang meminta kita untuk mencari jumlah suku. Tapi, ilmu ini sangat membantu dan mempercepat perhitungan.

Setelah melakukan percobaan-percobaan, akhirnya saya dapat membuat tulisan ini. Dan saya melakukan itu dengan cara "think like a computer". Tulisan singkat ini saya harap dapat membantu kita mempercepat pengerjaan pada masalah deret aritmatika.

Percobaan

Pada percobaan ini, saya awalnya menggunakan angka-angka kecil yang kemudian dilanjutkan ke angka yang besar.

Logika Gauss

Yang pertama, saya gunakan masalah pada "logika Gauss" (1, 2, ..., 100) untuk mencari fakta baru. Sudah jelas bahwa jumlah sukunya 100 bukan? Tentu saja karena jarak antar suku tersebut 1. Karena sudah jelas, maka dari itu saya gunakan ini terlebih dahulu.

Secara logika, untuk mencari jarak kita akan melakukan pengurangan dari bilangan terbesar ke terkecil. Sebagai contoh pada deret di atas dimana bilangan terbesar adalah 100 dan terkecil adalah 1 dengan jarak antar suku 1. Mari kita coba kurangi bilangan tersebut.

N_t - N_a = 100 - 1
=> 99

Bisa kita lihat bahwa jawabannya adalah 99. Tapi, bukan kah sudah jelas bahwa jumlah sukunya 100? Oke, kalau gitu kita tambahkan 1 supaya sesuai dengan jumlah sukunya.

(N_t - N_a) + 1 = 99 + 1
=> 100

Ya, akhirnya sesuai. Tapi, apakah kebenarannya sudah bisa dipastikan? Tentu saja belum. Maka dari itu kita coba ke percobaan berikutnya.

Jarak 9

Percobaan sebelumnya berjarak 1, kali ini kita coba 9. Buatlah sebuah barisan yang ringan, dalam kasus ini saya membuat 1, 10, 19, 28, 37. Sudah jelas bahwa jumlah sukunya 5. Oke, kita coba cari seperti cara di percobaan sebelumnya.

(N_t - N_a) + 1 = (37 - 1) + 1
=> 36 + 1
=> 37

Apa? 37? Tentu saja salah! Lalu, bagaimana cara kita mencari logika yang benar? Lihat, ada angka 36 sebelum ditambahkan menjadi 37. 36 itu kelipatan 9, bukan? Nah, kalau begitu, kita tambahkan satu langkah sebelum kita tambahkan hasilnya dengan 1. Yaitu, bagi hasil pengurangan dengan jarak suku tersebut sebelum ditambah 1. Asumsikan bahwa "b" adalah beda atau jarak antar suku

(N_t - N_a) : b = (37 - 1) : 9
=> 36 : 9
=> 4

 Nah, hasilnya sudah hampir benar. Tinggal kita tambahkan 1.

((N_t - N_a) : b) + 1 = 4 + 1
=> 5

Sama, bukan? Berarti, sejauh ini, kesimpulan untuk mencari jumlah suku yaitu, suku akhir dikurangani suku awal kemudian dibagi jarak antar suku lalu ditambahkan 1. Apakah ini berlaku untuk kasus lain? Mari kita coba lakukan percobaan berikutnya.

Kasus sedikit Ekstrim

Berikutnya, kita coba dengan yang sedikit ekstrim. Saya coba buat kasus deret aritmatika dengan deret 6, 10, 14, ..., 402. Dari deretnya, bisa dilihat berjarak 4.

((N_t - N_a) : b) + 1 = ((402 - 6) : 4) + 1
=> (396 : 4) + 1
=> 99 + 1
=> 100

Jumlah sukunya 100! Tapi, apakah benar itu jawabannya? Saya coba hitung dengan bahasa pemrograman. Dan jawabannya sama! Berikut kode dan keluarannya.

x = 6 # suku pertama 6
(2..100).each do |y|
# 2..100? Dimulai dari 2, karena suku 1 sudah didefinisikan x
  x += 4 # jarak antar suku 4, karena itu tambah 4 disetiap perulangan
end

Dan keluarannya adalah 100! Sehingga kebenarannya sudah dapat dibuktikan.

Kesimpulan

Dengan percobaan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa cara untuk mencari jumlah suku deret aritmatika dengan logika, yaitu:

((N_t - N_a) : b) + 1

Keterangan:
N_t = Suku Terakhir
N_a = Suku Pertama
b = Beda atau Jarak antar Suku

Penutup

Dengan melakukan percobaan, kita akan mengetahui fakta-fakta baru. Dan, kita juga akan lebih mengenal materi karena kita terjun langsung untuk menganalisa masalah pada materi tersebut.

Tulisan singkat ini saya harap dapat dijadikan bahan pembelajaran bahwa mencari rumus dapat dilakukan dengan percobaan sendiri serta dapat memberikan pemahaman bagaimana suatu rumus itu terbuat. Apabila ada kesalahan harap dikoreksi dan dimaklumi serta dimaafkan. Karena saya hanya manusia biasa yang mencoba untuk menjadi penulis. Terima kasih.

Baca

Matematika - Logika Perkalian 5

Matematika sebenarnya merupakan ilmu yang menyenangkan untuk diulik. Dengan melakukan eksperimen-eksperimen kecil, kita akan mendapatkan hasil yang cukup memuaskan walaupun untuk diri kita sendiri. Dari eksperimen tadi, kita akan mengetahui fakta-fakta baru serta secara tidak langsung meningkatkan logika kita. Yang akan saya bahas kali ini merupakan logika perkalian angka 5. Adapun kebenarannya saya dapatkan hasil eksperimen sendiri.

Bagaimana cara menghitung cepat 92.398.293.649 x 5? Atau 92.398.293.649 x 5.555? Kita akan mendapatkan jawabannya dari eksperimen!

Angka 5 merupakan bilangan yang menurut saya spesial. Karena perkalian serta pembagian dengan angka ini terasa ringan. 5 merupakan setengah dari 10, benar? Sehingga di dapat logika, N x 5 = (N x 10) : 2. Dengan mengalikan N ke 10, kita akan mempermudah proses pengerjaan. Contoh kasus dimulai dari yang kecil, 129 x 5?

   129
       5
   ------- x
   645

Coba kita gunakan (N x 10) : 2.

129 x 10 = 1290
1290 : 2 = 645
 ^ ^
 6 45

Lebih cepat ketimbang mengalikan satu-satu dengan 5 bukan? Kita coba dengan angka yang lebih besar yaitu 92398293649 x 5.

92398293649 x 10 = 923982936490
9  2  3  9  8  2   9   3  6  4  9  0 : 2 = 461991468245
^   ^  ^  ^  ^  ^   ^   ^   ^   ^   ^  ^
4  6  1 9   9   1  4   6  8  2 4  5

Lihat, cara ini tidak membutuhkan resource otak yang besar. Yang ini masih kurang jelas? Oke saya jabarkan lebih lanjut:

92398293649 x 10 = 923982936490
923982936490 : 2
-----------------------------
[1] Ambil yang paling depan yaitu 9. Kemudian bagi 2. Hasilnya 4, dengan sisa 1.
[2] Letakan sisa 1 lalu ambil angka berikutnya, yaitu 2. Sehingga menjadi 12 lalu bagi 2, hasilnya 6, sisanya 0.
[3] Letakan sisa 0 lalu ambil angka berikutnya, yaitu 3. Sehingga menjadi 03 lalu bagi 2, hasilnya 1, sisanya 1.
[4] Letakan sisa 1 lalu ambil angka berikutnya, yaitu 9. Sehingga menjadi 19 lalu bagi 2, hasilnya 9, sisanya 1.
[n] Dan seterusnya. Sama halnya dengan pembagian biasanya. Hanya saja yang satu ini melakukan pembagian cepat menggunakan otak.
------------------------------
Hasilnya 461.991.468.245

Lihat angka yang saya beri warna biru, itu merupakan angka yang dihasilkan dari contoh kasus pembagian cepat di atas. Sudah mulai panas? Ayo lanjut ke yang lebih ekstrim! 92398293649 x 5555.
Logikanya? Oke saya buatkan tabel seperti di bawah:

Angka	Rumus Jadi	Logika
5	(N x 10) : 2	10 = 2x5. Maka 10N = 2 sehingga 10N:2
50	(N x 100) : 2	100 = 2x50. Maka 100N = 2 sehingga 100N:2
500	(N x 1000) : 2	1000 = 2x500. Maka 1000N = 2 sehingga 1000N:2
5000	(N x 10000) : 2	10000 = 2x5. Maka 10000N = 2 sehingga 10000N:2
5 x (N digit 0)	(N x (1 x (N + 1 digit 0))) : 2	(1 x (N + 1 digit 0)) = 2x(5 x (N digit 0)). Maka (1 x (N + 1 digit 0))N = 2 sehingga (1 x (N + 1 digit 0))N:2

Logika dari 5555 yaitu 5000 + 500 + 50 + 5, benar? Maka, kita terapkan (N x 10000):2 + (N x 1000):2 + (N x 100):2 + (N x 10):2.

Pertama, cari yang paling kecil. Yaitu (N x 10):2.
92398293649 x 10 = 923982936490
9  2  3  9  8  2   9   3  6  4  9  0 : 2 = 461991468245
^   ^  ^  ^  ^  ^   ^   ^   ^   ^   ^  ^
4  6  1 9   9   1  4   6  8  2 4  5

Sehingga berikutnya hanya perlu menambahkan N-1 0 digit dibelakang sebanyak rumus.
(N x 10):2 = 461991468245
(N x 100):2 = 4619914682450
(N x 1000):2 = 46199146824500
(N x 10000):2 = 461991468245000

Berikutnya, jumlahkan semua.
   461991468245000
     46199146824500
       4619914682450
         461991468245
--------------------------------- +
   513272521220195

Ya, selesai! Coba hitung dengan kalkulator. Hasilnya pasti sama! Lihat, kita sudah berhasil mengerjakan soal ekstrim tanpa kalkulator dengan cepat. Jadi, 92.398.293.649 x 5.555 = 513.272.521.220.195

Mudahnya, logika dari ini yaitu:

N x (5 x  (10^(M-1))) = 2/2
(N:2) x (5 x (10^(M-1))) x 2
(N:2) x (2(5 x (10^(M-1)))) = (N x (2(5 x (10^(M-1))))):2

Dimana, N = Bilangan yang akan Dikali. Dan, M = Jumlah Digit Pengali. Misal, N = 92398293649. Dan, M = 50 (ada 2 digit).
Sehingga:

N x (5 x (10^(M-1))) = 2/2
92398293649 x  (5 x (10^(2-1)) = 2/2
92398293649 x (5 x 10) = 2/2
(92398293649):2 x (50 x 2)
(92398293649):2 x 100 = (92398293649 x 100):2
=> 4619914682450

Partial Method

Partial method sendiri saya tidak tahu sudah ada atau belum. Namun, saya namakan partial method karena kita akan membagi-bagi bilangan menjadi beberapa bagian. Seperti contoh, 1920 jika dibuat partial akan menjadi 1000 + 900 + 20 + 0. Cara ini sangat berguna untuk menghitung angka-angka menyebalkan seperti desimal. Contoh kasus, berapa 178 x 4.5? Menyebalkan bukan?

Mari kita gunakan partial method untuk mencari solusinya.

4.5 = 5 - 0.5

Maka:
178 x 5 = 1780:2 = 890

Ada 0.5 tuh. Caranya? 0.5 itu kan 5:10. Berarti, sama dengan logika perkalian 5, hanya saja hasilnya dikurangi dari digit dibelakang koma. Dari 0.5 ada 1 digit dibelakang koma. Sehingga, 178 x 5 = 1780:2 = 890:(10 x N digit dibelakang koma) = 890:10 = 89.

Jadi:
4.5 = 5 - 0.5
890 - 89 = 801

Untuk tabel logika perkalian 5 desimal ada di bawah. Peringatan! Angka di depan harus lah bilangan 0. Jika tidak, maka pisahkan dulu dengan partial method. Angka yang didapat seharusnya hanya 0 dan atau 5. Seperti, 5, 50, 500, 0.5, 0.05, dst.

Angka	Rumus Jadi	Logika
0.5	N : 2	0.5 = 1:2. Maka N = 2 sehingga N:2
0.05	(N : 2) : 10	0.05 = (1:2):10. Maka N:10 = 2 sehingga N:20
0.005	(N : 2) : 100	0.005 = (1:2):100. Maka N:100 = 2 sehingga N:200
0.0005	(N : 2) : 1000	0.0005 = (1:2):1000. Maka N:1000 = 2 sehingga N:2000
5 : (N dgit dibelakang koma)	(N : 2) : 10 ^ (N digit dibelakang koma - 1)	N : (2 x 10 ^ (N digit dibelakang koma - 1))

Pusing? Sama!

Kesimpulan

Gunakanlah partial method untuk memudahkan penyelesaian masalah. Jika yang dihadapi angka 5. Cukup gunakan logika di atas untuk mempercepat perhitungan. Awalnya memang menghitungnya butuh waktu karena otak kita sedang menyesuaikan logika baru. Jadi, sering lah latihan dan gunakan logika ini. Nanti, kita akan terbiasa.

Perkalian 5:

N x 10 ^ (digit perkalian) : 2

Perkalian 5 Desimal:

N : 2 x (10 ^ (digit perkalian - 1))

 Parital Method:

Pecah bilangan lalu tambahkan.
=> 3234 = 3000 + 230 + 30 + 4

 Penutup

Ilmu merupakan sesuatu yang tidak ada habisanya. Semakin banyak kita memperoleh ilmu, maka kita akan semakin merasa tidak punya apa-apa. Karena itu lah, ilmu sangat luas dan ilmu ingin kita pelajari. Maka gunakan lah waktu yang ada untuk mencari ilmu. Jangan kita sia-sia kan waktu kita untuk hal yang tidak bermanfaat. Eksperimen kecil dapat mengubah pandangan kita serta dapat meningkatkan pemahaman kita. Maka dari itu, mulai lah bereksperimen dan melakukan uji coba!

Tulisan ini bisa saja mengandung kesalahan. Karena itu, mohon dikoreksi dan dimaklumi serta dimaafkan. Karena saya hanya lah manusia biasa yang mencoba untuk menjadi penulis. Terima kasih.

Baca

Matematika - Logika Gauss dalam Barisan dan Deret

Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) merupakan salah satu ilmuwan yang terkenal karena di dalam bidang Matematika karena penemuannya, yaitu rumus barisan dan deret. Dalam tulisan ini, saya akan bahas penyelesaian kasus barisan dan deret hanya dengan logika. Kita gunakan logika yang digunakan Gauss sewaktu menemukan rumus barisan dan deret.

Dalam barisan deret 1 hingga 100. Terdapat 100 buah bilangan yang nilainya berurut. Karena berurut, kita dapat dengan mudah menyelesaikannya. Mari kita hitung 1+2+3+..100 dengan logika Gauss.

Diberikan N bilangan sebanyak 100 buah, yaitu 1,2,3,...,100.

N = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,48,49,50,51,52,...,91,92,93,94,95,96,97,98,100

Karena bilangan berurut, mari kita jumlahkan N dengan M. Dimana M merupakan N yang dibalik.

M = 100,99,98,97,96,95,94,93,92,91,...,52,51,50,49,48,...,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1

Setelah dijumlahkan, ternyata setiap bilangan jumlahnya sama.

N+M = 101,101,101,...,101

Berapa banyak suku yang dimiliki N+M? Tentu saja 100. Masing-masing suku bernilai sama yaitu 101. Karena berjumlah 100 buah, mari kita kalikan. Diberikan H sebagai hasil akhir.

H = 101 x 100
H = 10100

Berikutnya, bagi H dengan 2. Kenapa? Karena pada awal, kita menjumlahkan N+M, dimana N dan M merupakan bilangan yang sama namun pada M kita membalikannya. Jadi, secara logika, N+M:2 = H.

H = 10100:2
H = 5050

Jika kita menggunakan rumus barisan dan deret.

Sn = n/2(2a + (n-1)b)
S100 = 50(2 + 99)
S100 = 50(101)
S100 = 5050

Keterangan:
Sn = Banyaknya jumlah n bilangan dari barisan
n = Banyaknya bilangan (suku)
a = Angka dimulainya barisan
b = Perbedaan jarak antar angka dalam barisan

Lihat, hasilnya sama! Di dalam rumus itu terdapat N:2. Dari perhitungan manual di atas, kita juga membagi 2 hasil akhir. Bedanya, di dalam rumus ini yang dibagi merupakan jumlah suku atau jumlah banyaknya bilangan.

H = (n(2a + (n-1)b))/2
H = (100(2 + 99))/2
H = (100(101))/2
H = 10100/2
H = 5050

Jika kita ubah sedikit rumusnya, maka dengan sangat jelas seperti pengerjaan manual di atas.

Sudah ada rumus yang tersedia, tapi kenapa masih menghitung manual?

Penutup

Memang benar untuk apa menghitung manual jika sudah ada rumus. Tapi, memangnya mau menghafal rumus-rumus? Di matematika ada banyak sekali rumus. Jika dihafalkan tentu saja tidak efisien. Salah satu cara terbaik adalah memahami konsep serta logika dari rumus tersebut. Kenapa bisa terbentuk rumus seperti ini? Itulah yang kita pahami dari tulisan ini. Jika kita paham konsepnya, sudah jelas kita akan ingat bagaimana cara penyelesaiannya tanpa harus menghafal rumus karena secara tidak langsung kita mengerjakannya seperti menggunakan rumus. Bahkan, dalam beberapa kasus kita mengharuskan menggunakan konsep atau logikanya ketimbang menggunakan rumus yang ada.

Demikian tulisan yang membahas sedikit tentang logika Gauss dalam barisan dan deret. Tulisan ini bisa saja mengandung kesalahan. Karena itu mohon dikoreksi dan dimaklumi serta dimaafkan. Akan saya perbaiki ketika ada kesalahan. Saya hanyalah orang yang mencoba untuk menjadi penulis. Saya juga masih belajar. Terima kasih.

Baca