Matematika - Logika Jumlah Suku pada Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan salah satu materi yang paling saya sukai. Karena di dalamnya saya melakukan komputasi yang membutuhkan logika untuk mengidentifikasi masalahnya yang hasilnya terkadang "gila", hingga ratusan ribu atau bahkan jutaan. Kali ini, kita akan mencoba menggunakan logika untuk mencari jumlah suku pada deret aritmatika. Walaupun jarang ada masalah (soal) yang meminta kita untuk mencari jumlah suku. Tapi, ilmu ini sangat membantu dan mempercepat perhitungan.

Setelah melakukan percobaan-percobaan, akhirnya saya dapat membuat tulisan ini. Dan saya melakukan itu dengan cara "think like a computer". Tulisan singkat ini saya harap dapat membantu kita mempercepat pengerjaan pada masalah deret aritmatika.

Percobaan

Pada percobaan ini, saya awalnya menggunakan angka-angka kecil yang kemudian dilanjutkan ke angka yang besar.

Logika Gauss

Yang pertama, saya gunakan masalah pada "logika Gauss" (1, 2, ..., 100) untuk mencari fakta baru. Sudah jelas bahwa jumlah sukunya 100 bukan? Tentu saja karena jarak antar suku tersebut 1. Karena sudah jelas, maka dari itu saya gunakan ini terlebih dahulu.

Secara logika, untuk mencari jarak kita akan melakukan pengurangan dari bilangan terbesar ke terkecil. Sebagai contoh pada deret di atas dimana bilangan terbesar adalah 100 dan terkecil adalah 1 dengan jarak antar suku 1. Mari kita coba kurangi bilangan tersebut.

N_t - N_a = 100 - 1
=> 99

Bisa kita lihat bahwa jawabannya adalah 99. Tapi, bukan kah sudah jelas bahwa jumlah sukunya 100? Oke, kalau gitu kita tambahkan 1 supaya sesuai dengan jumlah sukunya.

(N_t - N_a) + 1 = 99 + 1
=> 100

Ya, akhirnya sesuai. Tapi, apakah kebenarannya sudah bisa dipastikan? Tentu saja belum. Maka dari itu kita coba ke percobaan berikutnya.

Jarak 9

Percobaan sebelumnya berjarak 1, kali ini kita coba 9. Buatlah sebuah barisan yang ringan, dalam kasus ini saya membuat 1, 10, 19, 28, 37. Sudah jelas bahwa jumlah sukunya 5. Oke, kita coba cari seperti cara di percobaan sebelumnya.

(N_t - N_a) + 1 = (37 - 1) + 1
=> 36 + 1
=> 37

Apa? 37? Tentu saja salah! Lalu, bagaimana cara kita mencari logika yang benar? Lihat, ada angka 36 sebelum ditambahkan menjadi 37. 36 itu kelipatan 9, bukan? Nah, kalau begitu, kita tambahkan satu langkah sebelum kita tambahkan hasilnya dengan 1. Yaitu, bagi hasil pengurangan dengan jarak suku tersebut sebelum ditambah 1. Asumsikan bahwa "b" adalah beda atau jarak antar suku

(N_t - N_a) : b = (37 - 1) : 9
=> 36 : 9
=> 4

 Nah, hasilnya sudah hampir benar. Tinggal kita tambahkan 1.

((N_t - N_a) : b) + 1 = 4 + 1
=> 5

Sama, bukan? Berarti, sejauh ini, kesimpulan untuk mencari jumlah suku yaitu, suku akhir dikurangani suku awal kemudian dibagi jarak antar suku lalu ditambahkan 1. Apakah ini berlaku untuk kasus lain? Mari kita coba lakukan percobaan berikutnya.

Kasus sedikit Ekstrim

Berikutnya, kita coba dengan yang sedikit ekstrim. Saya coba buat kasus deret aritmatika dengan deret 6, 10, 14, ..., 402. Dari deretnya, bisa dilihat berjarak 4.

((N_t - N_a) : b) + 1 = ((402 - 6) : 4) + 1
=> (396 : 4) + 1
=> 99 + 1
=> 100

Jumlah sukunya 100! Tapi, apakah benar itu jawabannya? Saya coba hitung dengan bahasa pemrograman. Dan jawabannya sama! Berikut kode dan keluarannya.

x = 6 # suku pertama 6
(2..100).each do |y|
# 2..100? Dimulai dari 2, karena suku 1 sudah didefinisikan x
  x += 4 # jarak antar suku 4, karena itu tambah 4 disetiap perulangan
end

Dan keluarannya adalah 100! Sehingga kebenarannya sudah dapat dibuktikan.

Kesimpulan

Dengan percobaan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa cara untuk mencari jumlah suku deret aritmatika dengan logika, yaitu:

((N_t - N_a) : b) + 1

Keterangan:
N_t = Suku Terakhir
N_a = Suku Pertama
b = Beda atau Jarak antar Suku

Penutup

Dengan melakukan percobaan, kita akan mengetahui fakta-fakta baru. Dan, kita juga akan lebih mengenal materi karena kita terjun langsung untuk menganalisa masalah pada materi tersebut.

Tulisan singkat ini saya harap dapat dijadikan bahan pembelajaran bahwa mencari rumus dapat dilakukan dengan percobaan sendiri serta dapat memberikan pemahaman bagaimana suatu rumus itu terbuat. Apabila ada kesalahan harap dikoreksi dan dimaklumi serta dimaafkan. Karena saya hanya manusia biasa yang mencoba untuk menjadi penulis. Terima kasih.